====== Aulas 18-22 ======
Nesta sequência de aulas estivemos revisitando o formalismo matemático da mecânica quântica e estudando alguns resultados novos. Agradecimentos ao prof. Rubens, que me substituiu na aula do dia 28/9.
   * Espaço vetorial complexo de funções de quadrado integrável = espaço de Hilbert; propriedades de espaços vetoriais, produto interno.
   * Problema 3.2 do Griffiths (polinômios dentro/fora do espaço de Hilbert).
   * Conjugado Hermitiano de um operador.
   * Observáveis:
   * Estados bem-definidos: vimos que ter variância = 0 para um observável é equivalente a ser auto-estado deste observável.
   * Exemplo 3.1: auto-estados do operador <latex> \hat{Q}= i \frac{d}{d\phi}</latex>.
   * Mais sobre auto-funções de operadores Hermitianos: começamos a estudar o caso de espectro discreto. Primeiro resultado: auto-valores são reais.
   * Autofunções de operadores Hermitianos: ortogonalidade e completeza no caso de espectro discreto.
   * O caso de espectro contínuo: ortogonalidade (à la Dirac) e completeza. Estudamos somente os operadores momento e posição, o caso de espectro contínuo geral tem sutilezas, pois nem sempre as integrais que representam os produtos internos convergem...
   * Interpretação estatística generalizada: como encontrar a probabilidade de medirmos qualquer valor de observável geral.
   * continuando o estudo da interpretação estatística generalizada: como recuperar a interpretação estatística para os operadores <latex>\hat{x}</latex> e <latex>\hat{p}</latex>.
   * Princípio da Incerteza generalizado: derivação, como recuperamos o princípio de incerteza de Heisenberg para <latex>\hat{x}</latex> e <latex>\hat{p}</latex>.
   * Definindo a noção de observáveis compatíveis e incompatíveis a partir das relações de comutação.
   * Pacote de onda de incerteza mínima: vimos que são as gaussianas, como já tínhamos adiantado quando examinamos <latex> \Delta x</latex> e <latex> \Delta p</latex> para o estado fundamental do OH.
   * Incerteza para energia/tempo: fórmula semelhante à de incerteza para x e p, mas com interpretações diferentes. <latex> \Delta E</latex> continua interpretada como o desvio-padrão das medidas de energia <latex> \sigma E</latex>. <latex> \Delta t</latex> não é o desvio-padrão de medidas de tempo, já que o tempo não é observável; está relacionado ao tempo para uma mudança significativa do sistema. Aqui vocês encontram [[http://arxiv.org/abs/quant-ph/0105049|um artigo de Paul Bush com um levantamento das dificuldades associadas à definição de um princípio de incerteza para tempo e energia]].
   * 3 exemplos de aplicação do princípio de incerteza para tempo e energia.
   * Notação de Dirac: vetores e operadores lineares (a continuar na próxima aula).

Refs. Griffiths, cap. 3. Sugiro o Apêndice A para quem não está sentindo firmeza no seu próprio conhecimento de álgebra linear.
A [[:listas|lista de exercícios número 4]] já está disponível.


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